Read e-book online A primer on determinism PDF

By John Earman

ISBN-10: 9027722404

ISBN-13: 9789027722409

ISBN-10: 9027722412

ISBN-13: 9789027722416

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In einfachen Versionen sollten die Konzepte aus einer Grundvorlesung zur Analysis vertraut sein. Wir geben ¨ hier dennoch eine kompakte Ubersicht. Unser Ziel ist dabei insbesondere, Grundlagen zu legen f¨ur den Gauß’schen Satz f¨ur Sobolevfunktionen und f¨ur den Spursatz. Lipschitz-Gebiete Wir betrachten im Folgenden Teilmengen Ω ⊂ Rn und Funktionen auf Ω . Wir werden meist offene Teilmengen Ω verwenden, weil in Randpunkten x ∈ ∂ Ω nicht klar ist, was die Ableitung einer Funktion f : Ω → Rm ist.

Andererseits l¨ost die Funktion v auf ΩT eine modifizierte W¨armeleitungsgleichung; die Produktregel liefert ∂t v = −λ eλ (t0 −t) u + eλ (t0 −t) ∂t u = −λ v + ∆v . Diese Gleichung ist im Widerspruch zu den geometrischen Bedingungen im Maximum, 0 ≤ ∂t v(x1 ,t1 ) = −λ v(x1 ,t1 ) + ∆v(x1 ,t1 ) ≤ −λ v(x1 ,t1 ) < 0 . Dieser Widerspruch beweist den Satz. Die analoge Aussage gilt auch f¨ur Minima, wie sich durch Anwendung des Satzes auf −u beweisen l¨asst. Wie schon bei der Poisson-Gleichung liefert das Maximumprinzip auch im instation¨aren Fall eine Eindeutigkeitsaussage.

F¨ur einen Beweis gen¨ugt es, f¨ur eine harmonische Funktion u die harmonische Funktion −u zu betrachten. 7 (Eindeutigkeit). Sei Ω ⊂ Rn offen und beschr¨ankt, g ∈ C0 (∂ Ω ) und f ∈ C0 (Ω ) seien gegeben. Dann gibt es h¨ochstens eine L¨osung u ∈ C2 (Ω ) ∩C0 (Ω¯ ) der Poisson-Gleichung −∆u = f u=g in Ω , auf ∂ Ω . 2 Harmonische Funktionen 29 Beweis. Seien u1 und u2 zwei L¨osungen. Dann erf¨ullt die Differenz w := u1 − u2 die Gleichungen ∆w = ∆u1 − ∆u2 = − f + f = 0 auf Ω , w = u1 − u2 = g − g = 0 auf ∂ Ω .

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A primer on determinism by John Earman


by Michael
4.1

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